補充知識：

正定矩陣

奇異矩陣

嚴格對角占優

要理解Gauss消去法，首先來看一個例子：

從上例子可以看出，高斯消去法實際上就是我們初中學的階二元一次方程組，只不過那里的未知數個數$n=2$

$n>2$時，Gauss消去法的思路實際上和解二元一次方程組是一樣的，方法如下：

將n方程組中的n−1個方程通過消元，形成一個與原方程組等價的一個新方程組，新方程組中的n−1個方程僅包含n−1個未知數。 故問題就轉化為了求解n−1元的方程組，這樣我們可以繼續消元，以次類推，直到最后一個方程組為一元一次方程組 從最后一個一元一次方程組求解出最后一個未知量，然后逐步回代入之前的方程組，從而得到所有的未知數。 我們可以看到Gauss實際上就分為兩步：消去和回代

下面通過一般化得到Gauss消元法的求解過程

以上就是Gauss消去法的基本步驟，我們再回過頭看看有沒有什么問題？

我們在求比例$l_{ik}= frac{a_{ik}^{left (k-1 right )}}{a_{kk}^{left (k-1 right )}}$時，如果分母很小，即：

$l_{ik}rightarrow infty$，那么

總結一下，能否使用Gauss消元法的情況

為了解決這個問題，我們可以使用列主元Gauss消元法。

參考了一些網上的代碼，這里給出Gauss的Java實現

package peterxiazhe;import java.util.Scanner;public class Gauss { /** * 列主元高斯消去法 */ static double A[][]; static double b[]; static double x[]; static int n; //n表示未知數的個數 static int n_2; //記錄換行的次數 public static void main(String[] args) { System.out.println('--------------輸入方程組未知數的個數---------------'); Scanner sc = new Scanner(System.in); n = sc.nextInt();A = new double[n][n]; b = new double[n]; x = new double[n];System.out.println('--------------輸入方程組的系數矩陣A:---------------'); for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 0; j < n; j++) {A[i][j] = sc.nextDouble(); } }System.out.println('--------------輸入方程組的常量向量b:---------------'); for(int i = 0; i < n; i++) {b[i] = sc.nextDouble(); }Elimination(); BackSubstitution(); PrintRoot(); } //消元法 public static void Elimination() { PrintA(); for(int k = 0; k < n; k++) { WrapRow(k); for(int i = k+1; i < n; i++) {double l = A[i][k] / A[k][k];A[i][k] = 0;for(int j = k+1; j < n; j++) { A[i][j] = A[i][j] - l * A[k][j];}b[i] = b[i] - l * b[k]; } //System.out.println('第' + k + '次消元后:'); //PrintA(); } } //回代法 public static void BackSubstitution() { x[n-1] = b[n-1] / A[n-1][n-1]; for(int i = n - 2; i >= 0; i--) { x[i] = (b[i] - solve(i)) / A[i][i]; } } public static double solve(int i) { double result = 0.0; for(int j = i; j < n; j++) result += A[i][j] * x[j]; return result; } //輸出方程組的根 public static void PrintRoot() { System.out.println('--------------方程組的根為---------------'); for(int i = 0; i < n; i++) { System.out.println('x' + (i+1) + ' = ' + x[i]); } } //交換Swap函數??? public static void Swap(double[] ar, int x, int y) { Double tmp = ar[x]; ar[x] = ar[y]; ar[y] = tmp; } public static void PrintA() { //輸出A的增廣矩陣 //System.out.println('--------------增廣矩陣---------------'); for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 0; j < n; j++) {System.out.print(A[i][j] + ' '); } System.out.println(b[i]); } } //交換矩陣的行 public static void WrapRow(int k) { //k表示第k+1輪消元 double maxElement = Math.abs(A[k][k]);int WrapRowIndex = k; // 記住要交換的行 for(int i = k + 1; i < n; i++) { if (Math.abs(A[i][k]) > maxElement) {WrapRowIndex = i;maxElement = A[i][k]; } } if (WrapRowIndex != k) { //交換求得最大主元 n_2 += 1; System.out.println('k = ' + k + '時，' + '要交換的行為' + k + '和'+ WrapRowIndex); //先交換A for(int j = k; j < n; j++) {double[] arr = {A[k][j], A[WrapRowIndex][j]};Swap(arr, 0, 1);A[k][j] = arr[0]; A[WrapRowIndex][j] = arr[1];//double tmp = A[k][j];//A[k][j] = A[WrapRowIndex][j];//A[WrapRowIndex][j] = tmp; } //再交換b double[] arr = {b[k], b[WrapRowIndex]}; Swap(arr, 0, 1); b[k] = arr[0]; b[WrapRowIndex] = arr[1];// double tmp = b[k];// b[k] = b[WrapRowIndex];// b[WrapRowIndex] = tmp; System.out.println('--------------交換后---------------'); PrintA(); } }}

注意：由于Java不支持對基本數據類型的引用傳遞，這里使用了一個小技巧

java中交換兩個基本數據類型的變量函數swap(int[] source,int i,int j）

java中函數的參數傳遞機制是：基本數據類型采用值傳遞，對象采用傳引用。因此，如果要寫一個交換兩個int型變量數值的函數，還真是有點不方便，必須采用一個數組對象來作為輔助,具體實現如下：

//交換兩個整數 private static void swap(int[] source, int i, int j) { int temp = source[i]; source[i] = source[j]; source[j] = temp; }

以上就是本文的全部內容，希望對大家的學習有所幫助，也希望大家多多支持好吧啦網。